约束如何进入变分原理：热力学中的推导路径

适用条件问题与适用范围围绕状态函数与过程和约束如何进入变分原理展开。先固定热力学中的变量、边界与量纲，再说明为什么选择 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$ 作为推导入口。接着把每一步写成可检查的等式或积分，并指出这一步依赖了哪一个假设。若改变边界条件，结果会在什么地方失效？若把公式换成数值演示，读者应该观察哪一个量的变化？这些问题会在本节最后回到物理图像中，帮助读者判断推导是否仍然对应真实可测的对象。最后再用一个极限情形和一个常见反例检查符号、数量级与边界行为，避免只因为形式漂亮就接受结论。